Wyznacznik macierzy - definicja i własności
Z każdą macierzą kwadratową \( A \) związana jest liczba (rzeczywista lub zespolona) nazywana wyznacznikiem macierzy \( A \) , oznaczana symbolem
. Wyznacznik definiujemy indukcyjnie, w następujący sposób:
gdzie
oznacza podmacierz stopnia \( n-1 \) otrzymaną z macierzy
poprzez skreślenie \( i \)-tego wiersza oraz pierwszej kolumny.
\( \mathrm{det}A \)
- jeżeli macierz \( A=(a_{11}) \) jest stopnia \( 1 \), to \( \mathrm{det}A=a_{11}; \)
- jeżeli macierz \( A=(a_{ij}) \) jest stopnia \( n \), gdzie \( n> 1 \), to
\( \mathrm{det}A=\mathrm{det}\left( \begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\ \ldots&\ldots&\ddots&\ldots\\ a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nn} \end{array} \right)=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\mathrm{det}A_{i1}, \)
\( A_{i1} \)
\( A \)
Wyznacznik macierzy będziemy również oznaczać, stosując następujący zapis:
\( \mathrm{det}A=\left| \begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\ \ldots&\ldots&\ddots&\ldots\\ a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nn} \end{array} \right|. \)
Warto zapamiętać, że wyznaczniki liczymy tylko dla macierzy kwadratowych.
Przykład 1:
Zgodnie z definicją, wyznacznikiem macierzy składającej się z jednego elementu jest wartość tego elementu, tj.
\( \mathrm{det}(7)=7 \)
\( |-27|=-27. \)
Przykład 2:
Obliczmy wyznacznik macierzy stopnia 2. Niech zatem
\( A=\left( \begin{array}{rr} 2&-1\\3&2 \end{array} \right). \)
Zgodnie z definicją obliczamy
\( \mathrm{det}A=\mathrm{det}\left( \begin{array}{rr} 2&-1\\3&2 \end{array} \right)=(-1)^{1+1}\cdot 2\cdot 2+(-1)^{2+1}\cdot 3\cdot (-1)=7. \)
W przypadku obliczania wyznaczników macierzy stopnia 2 można zastosować prostszą metodę mnożenia .
Przykład 3:
Zajmijmy się następnie obliczeniem wyznacznika macierzy stopnia 3. Mamy daną macierz
\( A=\left( \begin{array}{rrr} 2&3&0\\-1&1&1\\3&2&0 \end{array} \right). \)
Mamy:
\( \mathrm{det}A=\mathrm{det}\left( \begin{array}{rrr} 2&3&0\\-1&1&1\\3&2&0 \end{array} \right)=(-1)^{1+1}\cdot 2\cdot \mathrm{det}A_{11}+(-1)^{2+1}\cdot (-1) \cdot \mathrm{det}A_{21} +(-1)^{3+1}\cdot 3\cdot A_{31}. \)
Obliczamy:
\( \mathrm{det}A_{11}=\mathrm{det}\left( \begin{array}{rr} 1&1\\2&0 \end{array} \right)=-2, \)
\( \mathrm{det}A_{21}=\mathrm{det}\left( \begin{array}{rr} 3&0\\2&0 \end{array} \right)=0, \)
\( \mathrm{det}A_{31}=\mathrm{det}\left( \begin{array}{rr} 3&0\\1&1 \end{array} \right)=3, \)
skąd ostatecznie
\( \mathrm{det}A=(-1)^{2}\cdot 2\cdot(-2)+(-1)^{3}\cdot (-1)\cdot 0+(-1)^{4}\cdot 3\cdot 3=-4+9=5. \)
W przypadku obliczania wyznaczników macierzy stopnia 3 można zastosować prostszą metodę tzw.
Twierdzenie 1: Własności wyznacznika macierzy
Niech \( A \) będzie macierzą kwadratową.
- Jeżeli macierz \( A \) zawiera wiersz (kolumnę) składającą się z samych zer, to \( \mathrm{det}A=0; \)
- Jeżeli zamienimy miejscami dwa wiersze (kolumny) macierzy \( A \), to wyznacznik zmieni znak na przeciwny;
- Jeżeli macierz \( A \) zawiera dwa jednakowe wiersze (kolumny), to \( \mathrm{det}A=0 \);
- Jeżeli do każdego z elementów pewnego wiersza (kolumny) macierzy \( A \) dodamy pomnożone przez tę samą liczbę odpowiednie elementy innego wiersza (kolumny) tej macierzy (tj. dodajemy elementy leżące w tych samych kolumnach (wierszach)), to wyznacznik macierzy \( A \) nie zmieni się.
Ogólnie, wyznacznik macierzy \( A \) nie zmieni się, jeżeli do pewnego wiersza (kolumny) tej macierzy dodamy kombinację liniową innych wierszy (kolumn) macierzy \( A \); - Jeżeli wszystkie elementy pewnego wiersza (kolumny) macierzy \( A \) pomnożymy przez liczbę \( \alpha \), to wyznacznik otrzymanej macierzy będzie równy \( \alpha \cdot \mathrm{det}A \);
- Transpozycja macierzy \( A \) nie zmienia jej wyznacznika, tj. \( \mathrm{det}A=\mathrm{det}A^{T} \) ;
- Jeżeli macierze \( A \) i \( B \) są tych samych stopni, to
\( \mathrm{det}(A\cdot B)=\mathrm{det}A\cdot \mathrm{det}B\quad \) (prawo Cauchy'ego).
Przykład 4:
Obliczmy wyznacznik macierzy
\( A=\left( \begin{array}{rrrrr} 1&2&3&4&5\\0&2&3&4&5\\0&0&3&4&5\\0&0&0&4&5\\0&0&0&0&5 \end{array} \right). \)
Mamy:
\( \mathrm{det}A=(-1)^{1+1}\cdot 1\cdot \mathrm{det}\left( \begin{array}{rrrr}2&3&4&5\\0&3&4&5\\0&0&4&5\\0&0&0&5 \end{array} \right), \)
skąd
\( \mathrm{det}A=(-1)^{1+1}\cdot 1\cdot (-1)^{2+2}\cdot 2\cdot \mathrm{det}\left( \begin{array}{rrr} 3&4&5\\0&4&5\\0&0&5 \end{array} \right)=\ldots \)
i dalej analogicznie
\( \ldots =(-1)^{1+1}\cdot 1\cdot (-1)^{2+2}\cdot 2\cdot (-1)^{3+3}\cdot 3\cdot \mathrm{det}\left( \begin{array}{rr}4&5\\0&5 \end{array} \right)= \)
\( (-1)^{1+1}\cdot 1\cdot (-1)^{2+2}\cdot 2\cdot (-1)^{3+3}\cdot 3\cdot (-1)^{4+4}\cdot 4\cdot (-1)^{5+5}\cdot 5 \)
skąd ostatecznie otrzymujemy
\( \mathrm{det}\left( \begin{array}{rrrrr} 1&2&3&4&5\\0&2&3&4&5\\0&0&3&4&5\\0&0&0&4&5\\0&0&0&0&5 \end{array} \right)=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120. \)
Powyższy przykład ilustruje następujące
Twierdzenie 2: Wyznacznik macierzy trójkątnej
Wyznacznik macierzy trójkątnej równy jest iloczynowi wyrazów leżących na głównej przekątnej.
Jest to podstawowy fakt z teorii macierzy, wyznaczników i układów równań liniowych. Stanowi on podstawę dla tzw. metody Gaussa.